Question

【題目】已知橢圓：的左焦點(diǎn)為，其左、右頂點(diǎn)為、，橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，的外接圓的圓心在直線上.

（I）求橢圓的方程；

（II）已知直線：，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(I)；(II)或.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)求出的垂直平分線方程, 的垂直平分線的方程,從而可得的坐標(biāo),利用在直線上,結(jié)合,即可求得橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè),即,解得,(舍去).即可求得點(diǎn)的坐標(biāo).

試題解析：（I）由題意知,圓心既在的垂直平分線上,也在的垂直平分線上,

設(shè)的坐標(biāo)為,則的垂直平分線方程為…①

因?yàn)?/span>的中點(diǎn)坐標(biāo)為,的斜率為

所以的垂直平分線的方程為…②

聯(lián)立①②解得: ,

即,

因?yàn)?/span>在直線上,所以………（4分）

即

因?yàn)?/span>,所以

再由求得

所以橢圓的方程為………（7分）

（II）若,即

解得,(顯然不符合條件,舍去).

此時(shí)所以滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為.

綜上,存在點(diǎn)或,使得為等腰三角形