Question

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若存在兩個極值點，求證：無論實數取什么值都有.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析； (2)證明過程見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求得定義域為，求導通分后研究導函數的分子，利用判別式對分子根的個數和分布進行分類討論，由此求得函數的單調區間；（2）由（1）知時有兩個極值點，且，由此利用差比較法，計算的最小值為，即可得證.

試題解析：（1）函數的定義域為.

，記，判別式.

①當即時，恒成立，，所以在區間上單調遞增.

②當或時，方程有兩個不同的實數根，記，，顯然

（ⅰ）若，圖象的對稱軸，.

兩根在區間上，可知當時函數單調遞增，，所以，所以在區間上遞增.

（ⅱ）若，則圖象的對稱軸，.，所以，當時，，所以，所以在上單調遞減.當或時，，所以，所以在上單調遞增.

綜上，當時，在區間上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）由（1）知當時，沒有極值點，當時，有兩個極值點，且.

，

∴又，

.記，，則，所以在時單調遞增，，所以，所以.