Question

已知函數，．
（1）若的極大值為，求實數的值；
（2）若對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍；
(3)若函數f（x）滿足：在定義域內存在實數x₀，使f（x₀+k）= f（x₀)+ f（k）(k為常數)，則稱“f（x）關于k可線性分解”. 設，若關于實數a 可線性分解，求取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的極值和最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，利用導數求出極值，令極值為，解方程得b的值，先對求導，利用“為遞增函數，為遞減函數”判斷函數單調性，利用單調性判斷極大值為；第二問，將“對任意，都有恒成立”轉化為“”，令，利用導數求的最小值；第三問，先利用已知得到的解析式，代入到已知的f（x₀+k）= f（x₀)+ f（k）中，得到方程，根據函數定義域，得.
（1）由，得，
令，得或．                    2分
當變化時，及的變化如下表：

	-		+		-
	↘	極小值	↗	極大值	↘

 
所以的極大值為=，
．                            4分
（2）由，得．
，且等號不能同時取，
，即 
恒成立，即              6分
令，求導得，，
當時，，從而，
在上為增函數，
，
．                         9分
（3）證明：
由已知，存在，使關于實數a 可線性分解，則，
即：     10分
，                   12分
 
因為 所以                    14分