Question

已知函數(shù),.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，若對于任意的，都有成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）當(dāng)時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。（2）

試題分析：（1）先求導(dǎo)可得，討論導(dǎo)數(shù)再其定義域內(nèi)的正負(fù)，導(dǎo)數(shù)正得增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)負(fù)得減區(qū)間。討論導(dǎo)數(shù)符號問題時應(yīng)注意對正負(fù)的討論。（2）將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，對于任意的恒成立。令，先求導(dǎo)，再討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而得函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，使其最小值大于等于0即可。
解：（1）函數(shù)的定義域為.                                  1分
因為，                             2分
令，解得.                                      3分
當(dāng)時， 隨著變化時，和的變化情況如下：

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.        5分
當(dāng)時， 隨著變化時，和的變化情況如下：

即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.       7分
（2）當(dāng)時，對于任意的，都有成立，
即.
所以.
設(shè).                            
因為,                      8分
令，解得.                                  9分
因為，
所以隨著變化時，和的變化情況如下：

即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.        10分
所以.             11分
所以.
所以.                                                12分
所以的取值范圍為.                                   13分
法二：
當(dāng)時，對于任意的，都有成立，
即.
所以.
即.                                             8分
設(shè).                            
因為,                                   
令，解得.                                      9分
所以隨著變化時，和的變化情況如下：

即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.        10分
所以.                      11分
所以.
所以.                                                12分
所以的取值范圍為.                                    13分