Question

定義在（0，+∞）上的函數f（x）滿足：
①當x∈[1，3）時，f（x）=

x-1，1≤x≤2 3-x，2＜x＜3

，
②f（3x）=3f（x），
作出f（x）的圖象．

Answer 1

考點：函數的圖象

專題：函數的性質及應用

分析：先畫出當x∈[1，3）時，f（x）=

x-1，1≤x≤2 3-x，2＜x＜3

，時函數的圖象，再利用f（3x）=3f（x）變換出函數f（x）在定義域其它區間上的圖象．

解答： 解：當x∈[1，3）時，f（x）=

x-1，1≤x≤2 3-x，2＜x＜3

時，其圖象分別是[1，2]和（2，3）上的兩段線段；
又因為f（3x）=3f（x）可以看作是，對于函數y=f（t），當t=3x及t=x時，其函數值是3倍關系，即自變量取值變成原來三倍時，其函數值也相應變為原來的三倍；相同道理，當把自變量變成原來的

1

3

時，函數值也相應的變成原來的

1

3

；
則將函數f（x）在[1，3）上圖象的每個點橫坐標變成原來的三倍，縱坐標也變成原來的三倍，就可得到其在[3，9）上的圖象；依此類推，依次可得到函數f（x）在[3，9）、[9，27）、[27，81）…的圖象；同理，[1，3）每個點橫坐標變成原來的

1

3

，縱坐標也相應變成原來的

1

3

，因此可得到[

1

3

，1）上的圖象，依此類推，可得到[

1

3

，1）、[

1

9

，

1

3

）…的圖象．

點評：此題主要考查圖象的畫法，主要是通過研究函數的性質做出圖象，一是考查了出了函數圖象的伸縮變換，又考查了函數的類似于“周期性”的性質，此題有一定的難度．