Question

【題目】設是的十進制寫法中最后一個非零數字．證明：0·…是無理數．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設是有理數．則存在、，使得對每個，均有．

首先證明：存在，，且的最后一個非零數字為1．

事實上，設，其中，、，不被2與5整除．

則的最后一個非零數字為奇數，且不等于5．

若其等于1，則取；若其等于3，則取；

若其等于7，則取；若其等于9，則取．

在以上情形下，的最后一位非零數字分別與1、21、21、81的相同．

這樣就求出了當時使得的數．

其次證明：對任意的，．

事實上，記表示不超過實數的最大整數．

則在的素因子分解式中，2的冪指數為，

5的冪指數為．

因為當時，，所以，，且，

其中，，不被2與5整除．從而，其最后一位非零數字與的相同．

于是，不等于5，即最后取充分大的，使得．

記．則．

故．

因此，．

因為，所以，．

從而，．

故

，

即與的最后一位數字相同．

另一方面，，但是，因為，所以，的最后一位數字不等于．

從而，，矛盾．