Question

有一幅橢圓型彗星軌道圖,長4 cm,高2 cm,如下圖,已知O為橢圓中心,A₁,A₂是長軸兩端點,太陽位于橢圓的左焦點F處.

(1)建立適當的坐標系,寫出橢圓方程,并求出當彗星運行到太陽正上方時二者在圖上的距離;

(2)直線l垂直于A₁A₂的延長線于D點,|OD|=4,設P是l上異于D點的任意一點,直線A₁P、A₂P分別交橢圓于M、N(不同于A₁,A₂)兩點,問點A₂能否在以MN為直徑的圓上？試說明理由.

Answer 1

解:(1)建立如圖所示的坐標系,設橢圓方程為+=1(a＞b＞0),依題意,2a=4,2b=2,∴a=2,b=.∴c=1.

橢圓方程為=1,

F(-1,0),將x=-1代入橢圓方程得y=±,∴當彗星位于太陽正上方時,二者在圖中的距離為1.5 cm.

(2)由(1)知,A₁(-2,0),A₂(2,0),設M(x₀,y₀),∵M在橢圓上,∴y₀²=(4-x₀²),

又點M異于頂點A₁,A₂,∴-2＜x₀＜2.

由P、M、A₁三點共線可得P(4,),

∴=(x₀-2,y₀),=(2,).

∴·=2(x₀-2)+=(2-x₀).

∴2-x₀＞0.∴·＞0.∠MA₂P為銳角.

∵P、A₂、N三點共線,∴直線A₂M與NA₂不垂直.

∴點A₂不在以MN為直徑的圓上.