Question

【題目】多面體， ， ， ， ， ， ， 在平面上的射影是線段的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）過E作EO//A1A交AB于O，連接CO，先證明四邊形OEC1C是平行四邊形，可得C1E//CO，由C1E⊥面ABB1A1，得CO⊥面ABB1A1，進而可得結論；（2）以點O為坐標原點以 為軸建立空間直角坐標系，分別求出平面AB1C1的法向量與平面A1B1BA的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

試題解析：（1）證明：過E作EO//A1A交AB于O，連接CO，

由梯形的中位線知： ，

∴OE＝CC1，又OE//CC1，

故四邊形OEC1C是平行四邊形，

∴C1E⊥面ABB1A1，則CO⊥面ABB1A1，

又CO在面ABC內，

∴面ABC⊥面ABB1A1；

（2）如圖以點O為坐標原點建立空間直角坐標系， CO＝C1E=2， ， ， ，

∴， ，

設面AB1C1的法向量為，

依題知： ，即，

令a=1，得b=－2，c=2，∴，底面A1B1BA的法向量為，

∴．

∴二面角C1－AB1－A1的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直、面面垂直的判定，利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系（5）根據定理結論求出相應的角和距離.