Question

設函數f（x）=|x-a|+2x，其中a＞0．
（Ⅰ）當a=2時，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）若x∈（-2，+∞）時，恒有f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=2時，不等式即|x-2|≥1，可得x-2≥1，或 x-2≤-1，解得x的范圍，可得不等式的解集．
（Ⅱ）由于 f（x）的解析式及a＞0，可得函數f（x）在它的定義域（-2，+∞）上是增函數．再由f（x）＞0在它的定義域（-2，+∞）上恒成立，
可得f（-2）=a-2≥0，由此求得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，不等式f（x）≥2x+1，即|x-2|≥1，∴x-2≥1，或 x-2≤-1．
解得x≤1，或 x≥3，故不等式的解集為 {x|x≤1，或 x≥3}．
（Ⅱ）∵f（x）=

3x-a，  x≥a x+a， x＜a

，a＞0，故函數f（x）在它的定義域（-2，+∞）上是增函數．
再由f（x）＞0在它的定義域（-2，+∞）上恒成立，可得f（-2）=a-2≥0，解得 a≥2．
故a的范圍是[2，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，函數的單調性的應用，屬于中檔題．