Question

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x³-4x+3．有下列命題：
①f(-

3

4

) ＜f(

15

2

)；
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)f（x）=x³+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個(gè)無窮等差數(shù)列；
④關(guān)于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個(gè)不同的根．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：①因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(-

3

4

)=f(

3

4

)；又因?yàn)閷?duì)于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以
f（

15

2

）可化為f（

1

2

），因?yàn)?span id="kgacwms" class="MathJye">

1

2

與

3

4

都在[0，1]上，所以可以比較f(

3

4

)與f(

1

2

)大小，通過計(jì)算可得f(

1

2

)＞f(

3

4

)．故可知①正確．
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，則-x∈[0，1]，于是f（x）=f（-x）=（-x）³-4（-x）+3=-x³+4x+3≠x³+4x+3．故可知②不正確．
③因?yàn)閒^′（x）=3x²-4，所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，可知f（x）在x∈[0，1]上單調(diào)遞減．又因?yàn)閒（0）=3，f（1）=0，所以
f（x）=0在x∈[0，1]時(shí)只有一個(gè)根1；同時(shí)，因?yàn)閒（x）是偶函數(shù)，所以f（x）在x∈[-1，0]上亦有且只有一個(gè)根-1，又因?yàn)閷?duì)于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以有f（1）=f（3）=f（5）=…
故f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：1，3，5，…．從而可判斷出③正確．
④由③可知f（x）在x∈[0，1]上單調(diào)遞減，且0≤f（x）≤3，則函數(shù)y=f（x）與y=|x|的圖象在x∈[0，1]上有且只有有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=|x|在x∈[0，1]上有且只有一個(gè)根，設(shè)為x₁．由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（-x₁）=f（x₁）=|-x₁|，即-x₁也是方程f（x）=|x|的一個(gè)根，這就是說：方程f（x）=|x|在x∈[-1，1]上有且只有兩個(gè)根x₁，-x₁．同理，方程f（x）=|x|分別在x∈[1，2]、[2，3]上各有一個(gè)根，設(shè)為x₂，x₃；易知，方程f（x）=|x|分別在x∈[-2，-1]、[-3，-2]上亦各有一個(gè)根，且為-x₂，-x₃．在x∈（3，4]上，0＜f（x）≤3，而3＜|x|，故方程f（x）=|x|無根．綜上可知：方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上共有6個(gè)根．因此④不正確．

解答：解：①∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(-

3

4

)=f(

3

4

)=(

3

4

)3-4×

3

4

+3=

27

64

；
又∵對(duì)于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，
∴f（

15

2

）=f（6+

3

2

）=f（

3

2

）=f（2-

1

2

）=f（-

1

2

）=f（

1

2

）=(

1

2

)3-4×

1

2

+3=

1

8

+1＞f（-

3

4

）．
故可知①正確．
②當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，則-x∈[0，1]，于是f（x）=f（-x）=（-x）³-4（-x）+3=-x³+4x+3≠x³+4x+3．
故可知②不正確．
③因?yàn)閒^′（x）=3x²-4，所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，恒有f^′（x）＜0成立，故f（x）在x∈[0，1]時(shí)單調(diào)遞減．
又因?yàn)閒（0）=3，f（1）=0，所以f（x）=0在x∈[0，1]時(shí)有且只有一個(gè)根1；同理f（x）=0在x∈[-1，0]上有且只有一個(gè)根-1．
又因?yàn)閷?duì)于任意的x等式f（x+2）=f（x）恒成立，所以有f（-1）=f（1）=f（3）=f（5）=…；
故f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：1，3，5，…．是由小到大構(gòu)成一個(gè)無窮等差數(shù)列{2n-1}．
故③正確．
④由③可知f（x）在x∈[0，1]時(shí)單調(diào)遞減，且0≤f（x）≤3，
則函數(shù)y=f（x）與y=|x|的圖象在x∈[0，1]上有且只有有一個(gè)交點(diǎn)，即方程f（x）=|x|在x∈[0，1]上有且只有一個(gè)根，設(shè)為x₁．
由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，所以f（-x₁）=f（x₁）=|-x₁|，即-x₁也是方程f（x）=|x|的一個(gè)根．
同理，方程f（x）=|x|分別在x∈[1，2]、[2，3]上各有一個(gè)根，設(shè)為x₂，x₃；易知，方程f（x）=|x|分別在x∈[-2，-1]、[-3，-2]上亦各有一個(gè)根，且為-x₂，-x₃．
在x∈（3，4]上，0＜f（x）≤3，而3＜|x|，故方程f（x）=|x|無根．
綜上可知：方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上共有6個(gè)根．因此④不正確．
綜上可知①、③正確．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及方程的根，等差數(shù)列等知識(shí)；還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法．