Question

如圖，已知的直徑AB＝3，點C為上異于A，B的一點，平面ABC，且VC＝2，點M為線段VB的中點.
(1)求證：平面VAC；
(2)若AC＝1，求二面角M－VA－C的余弦值.

Answer 1

(1)見解析；(2)

解析試題分析：(1)證明直線與平面垂直的關鍵是證明該直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直；(2)求二面角可以利用幾何法，先找出二面角的平面角，也可以利用空間坐標系，找出平面的法向量求解.
試題解析：(1)∵平面，平面
∴        2分
∵點C為上一點，且AB為直徑
∴        4分
又平面VAC，
∴平面VAC；        6分
(2)由(1)得，
分別以CA，CB，CV所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系C－xyz如圖所示.     7分
則A(1，0，0)，V(0，0，2)，B(0，2，0)

設平面VAC的法向量為     8分
＝(1，，，，－2)，＝(－1，2，0)
設平面VAM的法向量為n＝(x，y，z)
由，得
取，得x＝4，z＝2
即           9分
∴        11分
∴二面角M－VA－C的余弦值為.        12分
考點：空間直線與平面垂直的判定，二面角的計算，空間直角坐標系，空間向量的應用.