Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求切線的方程；

（Ⅱ）若的極大值和極小值分別為，，證明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）由題意，求得函數的導數，由，即切線的斜率為，又由切線與直線垂直，解得，得到切線的斜率為，再由，即直線過點，由直線的點斜式方程，即可求解切線的方程；

（Ⅱ）設為方程的兩個實數根，根據二次函數根的分布，求得，根據題意，得到，令，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解。

（Ⅰ）由題意，求得函數的導數，因為，即切線的斜率為，

又由切線與直線垂直，所以，解得，即切線的斜率為，

又由，即直線過點，

所以曲線在點處的切線的方程為.

（Ⅱ）設為方程的兩個實數根，則，

由題意得，解得，

又因為函數的極大值和極小值分別為，，

則

.

令，

則，當時，，所以是增函數，

則，即.