Question

【題目】已知數列的前項和為,滿足 (),數列滿足 (),且

（1）證明數列為等差數列,并求數列和的通項公式;

（2）若,求數列的前項和;

（3）若,數列的前項和為,對任意的,都有,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）兩邊同除以，得，可求得。用公式，統一成，可求得。（2）由（1），代入得 ，由并項求和可得。（3）由（1）由錯位相減法可求得，代入可求。

試題解析：（1）由兩邊同除以，

得，

從而數列為首項，公差的等差數列，所以，

數列的通項公式為．

當時， ，所以．

當時， ， ，

兩式相減得，又，所以，

從而數列為首項，公比的等比數列，

從而數列的通項公式為．

(2)

=

（3）由（1）得，

，

所以，兩式相減得

所以，

由（1）得，

因為對 ，即恒成立，

所以恒成立，

記，所以，

因為 ，從而數列為遞增數列

所以當時， 取最小值，于是．