Question

【題目】如圖，在凸四邊形ABCD中，AB=1，BC= ，AC⊥DC，CD= AC．設∠ABC=θ．

（1）若θ=30°，求AD的長；
（2）當θ變化時，求BD的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos∠ABC，

∴AC2=1+3﹣2 cos30°=1，

∴AC=1

在△ACD中，AD2=AC2+DC2=4AC2=4，

∴AD=2

（2）解：設AC=x，CD= x，

在△ABC中，AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos∠ABC，

x2=4﹣2 cosθ，

∵ = ，

∴sin∠ACB= ．

在△BCD中，BD= =

= = = = ，

∵θ∈（0，π），

∴θ﹣ ∈（﹣ ， ），當θ﹣ = ，θ= 時BD取到最大值3

【解析】（1）在△ABC中，利用余弦定理可求AC，進而在△ACD中，利用勾股定理可求AD的值．（2）設AC=x，CD= x，在△ABC中，利用余弦定理可求x2=4﹣2 cosθ，利用正弦定理可得sin∠ACB= ，進而利用三角函數恒等變換的應用，余弦定理可求BD= ，結合范圍θ∈（0，π），利用正弦函數的圖象和性質可求BD的最大值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;．