Question

某城市規劃部門計劃依托一矩形花園ABCD將之擴建成一個再大些的矩形花園AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且對角線MN過C點，已知AB=3米，AD=2米．現有一飛鳥在矩形花園AMPN上空自由飛翔，并確定在花園AMPN內休息．
（1）要使飛鳥恰巧停在矩形花園ABCD內的概率不大于

3

16

，則AN的長應在什么范圍內？
（2）當AN的長度是多少時，矩形AMPN的面積最小？并求最小面積．

Answer 1

分析：（1）由題意設出AN的長為x米，因為三角形DNC∽三角形ANM，則對應線段成比例可知AM，表示出矩形AMPN的面積，然后根據飛鳥恰巧停在矩形花園ABCD內的概率不大于

3

16

，建立不等式，解之即可；
（2）利用a+b≥2

ab

當且僅當a=b時取等號的方法求出S的最大值即可．

解答：解：（1）設AN=x米，（x＞2），則ND=x-2
∵

ND

DC

=

AN

AM

∴

x-2

3

=

x

AM

∴AM=

3x

x-2

                                         …2 分
故飛鳥停在小花園中的概率為P，P=

SABCD

SAMPN

=

6

3x x-2 •x

=

2(x-2)

x2

  …4 分
由題意：

2(x-2)

x2

≤

3

16

                                   …5 分
∴3x²-32x+64≥0                                            …（7分）
即（3x-8）（x-8）≥0
∴2＜x≤

8

3

或x≥8                                              …（8分）
（2）S_AMPN=

3x2

x-2

=

3(x-2)2+12(x-2)+12

x-2

                   …（12分）
=3（x-2）+

12

x-2

+12   …（14分）
≥2

36

+12=24                                      …（15分）
此時x=4     當AN的長度是4米時，矩形AMPN的面積最小，最小面積為24米²．      …（16分）

點評：考查學生會根據實際問題選擇函數關系的能力，利用導數求閉區間上函數最值的能力．以及用a+b≥2

ab

當且僅當a=b時取等號的方法求最值的能力．