Question

 （本小題滿分14分）某城市自西向東和自南向北的兩條主干道的東南方位有一塊空地市規劃部門計劃利用它建設一個供市民休閑健身的小型綠化廣場，如下圖所示是步行小道設計方案示意圖，

其中，分別表示自西向東，自南向北的兩條主干道.設計方案是自主干道交匯點處修一條步行小道，小道為拋物線的一段，在小道上依次以點

為圓心，修一系列圓型小道，這些圓型小道與主干道相切，且任意相鄰的兩圓彼此外切，若（單位：百米）且.

（1）記以為圓心的圓與主干道切于點，證明：數列是等差數列，并求關于的表達式；

（2）記的面積為，根據以往施工經驗可知，面積為的圓型小道的施工工時為（單位：周）.試問5周時間內能否完成前個圓型小道的修建？請說明你的理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）. (2) 5周內能完成前個圓型小道的修建工作.

【解析】(1) 由題意知的半徑.再根據與彼此相切,得，=,平方整理可證明結論.

(2) 由于，所以可得=

<

再裂項求和即可證明結論.

解：（1）依題設的半徑.

與彼此相切,，

=，

兩邊平方整理得：,又,

,.

是等差數列，首項為1，公差為2.

,即.…………………………8分

(2),

設前幾個圓型小道的施工總工時為

=

<

.

故5周內能完成前個圓型小道的修建工作.……………………14分