Question

【題目】已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直線y=2x－2與曲線y=g（x）相切．

（1）若對[1，+）內的一切實數x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求實數a的取值范圍；

（2）當a=l時，求最大的正整數k，使得對[e，3]（e=2．71828是自然對數的底數）內的任意k個實數x1，x2，，xk都有成立；

（3）求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最大值為．（3）見解析．

【解析】

試題（1）設點為直線與曲線的切點，則有． （*）

，． （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．

設，，

，當時，，則是增函數，

，是增函數，，

因此，實數的取值范圍是．

（2）當時，，

，在上是增函數，在上的最大值為．

要對內的任意個實數都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．

，解得．

因此，的最大值為．

（3）證明（法一）：當時，根據（1）的推導有，時，，

即．

令，得，

化簡得，

．

（法二）數學歸納法：當時，左邊=，右邊=，

根據（1）的推導有，時，，即．

令，得，即．

因此，時不等式成立．

（另解：，，，即．）

假設當時不等式成立，即，

則當時,，

要證時命題成立，即證，

即證．

在不等式中，令，得

．

時命題也成立．

根據數學歸納法，可得不等式對一切成立．