Question

【題目】已知函數的圖象在點處的切線方程為.

（1）求函數的解析式；

（2）若對任意，不等式恒成立，求正整數t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）首先求出函數的定義域與導函數，然后根據題意及導數的幾何意義建立關于m和n的方程求解即可；

（2）首先將不等式化為，然后構造函數，通過研究新函數的單調性求得其最小值，從而根據恒成立求得正整數t的最大值.

（1）函數的定義域為，，

所以有，解之得，

故函數的解析式為：；

（2）可化為，

因為，所以，

令（），則由題意知對任意的，，

而，，

再令（），則，

所以在上為增函數，

又，，

所以存在唯一的，使得，即，

當時，，，所以在上單調遞減，

當時，，，所以在上單調遞增，

所以，

所以，

又，所以，

因為t為正整數，所以t的最大值為4.