Question

【題目】數學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線若的頂點，，且的歐拉線的方程為，則頂點C的坐標為　　

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

設出點C的坐標，由重心坐標公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯立求得三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯立求得點C的坐標．

設C（m，n），由重心坐標公式得，

三角形ABC的重心為（，），

代入歐拉線方程得：2＝0，

整理得：m﹣n+4＝0 ①

AB的中點為（1，2），直線AB的斜率k2，

AB的中垂線方程為y﹣2（x﹣1），即x﹣2y+3＝0．

聯立，解得．

∴△ABC的外心為（﹣1，1）．

則（m+1）2+（n﹣1）2＝32+12＝10，

整理得：m2+n2+2m﹣2n＝8 ②

聯立①②得：m＝﹣4，n＝0或m＝0，n＝4．

當m＝0，n＝4時B，C重合，舍去．

∴頂點C的坐標是（﹣4，0）．

故選：A．