Question

【題目】已知二次函數f（x）對任意實數x滿足f（x+2）=f（-x+2），又f（0）=3，f（2）=1．

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）若f（x）在[0，m]上的最大值為3，最小值為1，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）先由題意設f（x）＝ax2+bx+c，再結合f（2+x）＝f（2﹣x）得到x＝2是對稱軸，從而建立a，b，c的關系式，即可求得a，b，c．最后寫出函數f（x）的解析式即可；

（2）由于對稱軸為x＝2，且f（2）＝1，得到f（0）＝f（4）＝3，從而有：2≤m≤4，即m的取值范圍為[2，4]．

（1）設f（x）=ax2+bx+c，

∵f（2+x）=f（2-x），

∴x=2是對稱軸，

故f（0）=c=3,f（2）=4a+2b+c=1，

∴，

∴.

（2）∵對稱軸為x=2，且f（2）=1，

∴f（0）=f（4）=3，為了使得f（x）在[0，m]上的最大值為3，最小值為1，

∴2≤m≤4，

∴m的取值范圍為[2，4]．