Question

（本小題滿分12分）
在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生產x臺某種產品的收入為R(x)元，成本為C(x)元，且R(x)＝3 000x－20x²，C(x)＝500x＋4 000(x∈N^*)．現已知該公司每月生產該產品不超過100臺．
(1)求利潤函數P(x)以及它的邊際利潤函數MP(x)；
(2)求利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差．

Answer 1

(1)MP(x)＝2 480－40x；(2)利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差為71 680。

解析試題分析：（I）由“利潤等于收入與成本之差．”可求得利潤函數p（x），由“邊際函數為Mf（x），定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x）”可求得邊際函數；
（II）由二次函數法研究p（x）的最大值，由一次函數法研究Mp（x），對照結果即可．
(1)由題意，得x∈[1,100]，且x∈N^*.
P(x)＝R(x)－C(x)
＝(3 000x－20x²)－(500x＋4 000)
＝－20x²＋2 500x－4 000，…………………….3分
MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)²＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x²＋2 500x－4 000)＝2 480－40x……………………..8分
(2)P(x)＝－20(x－)²＋74 125，
當x＝62或x＝63時，P(x)取得最大值74 120；
因為MP(x)＝2 480－40x是減函數，
所以當x＝1時，MP(x)取得最大值2 440.
故利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差為71 680………………..12分
考點：本題主要考查了考查函數模型的建立和應用，涉及了函數的最值，同時，確定函數關系實質就是將文字語言轉化為數學符號語言--數學化，再用數學方法定量計算得出所要求的結果，
點評：解決該試題的關鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．同時能結合二次函數的性質得到相應的最值的求解。