Question

（本題14分）

設函數．

（1）求函數的單調遞增區間；

（2）若關于的方程在區間內恰有兩個相異的實根，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數的單調遞增區間為．（Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（1）確定出函數的定義域是解決本題的關鍵，利用導數作為工具，求出該函數的單調遞增區間即為f'（x）＞0的x的取值區間；

（2）方法一：利用函數思想進行方程根的判定問題是解決本題的關鍵．構造函數，研究構造函數的性質尤其是單調性，列出該方程有兩個相異的實根的不等式組，求出實數a的取值范圍．

方法二：先分離變量再構造函數，利用函數的導數為工具研究構造函數的單調性，根據題意列出關于實數a的不等式組進行求解．

解：（Ⅰ）函數的定義域為，………………………1分

∵，………………………2分

∵，則使的的取值范圍為，

故函數的單調遞增區間為． …………………………4分

（Ⅱ）方法1：∵，

∴．…………………6分

令，              

∵，且，

由．

∴在區間內單調遞減，在區間內單調遞增，……………………9分

故在區間內恰有兩個相異實根……11分

即解得：．

綜上所述，的取值范圍是．………………13分

方法2：∵，

∴．………………6分

即，

令， ∵，且，

由．

∴在區間內單調遞增，在區間內單調遞減．………9分

∵，，，

又，故在區間內恰有兩個相異實根．……11分

即．

綜上所述，的取值范圍是．  …………………14分

考點：本試題主要考查了導數的工具作用，考查學生利用導數研究函數的單調性的知識．考查學生對方程、函數、不等式的綜合問題的轉化與化歸思想，將方程的根的問題轉化為函數的圖象交點問題，屬于綜合題型

點評：解決該試題的關鍵將方程的根的問題轉化為函數的圖象交點問題。