Question

 已知函數。

（I）求函數的極值；

    （II）對于曲線上的不同兩點P₁（x₁,y₁），P₂（x₂,y₂），如果存在曲線上的點Q（x₀,y₀），    且x₁<x₀<x₂，使得曲線在點Q處的切線//P₁P_2,，則稱為弦P₁P_2,的伴隨切線。

特別地，當x₀ = x₁ + (1-)x₂ (0<<1)時，又稱為弦P₁P_2,的-伴隨切線。

（i）求證：曲線y=f(x)的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；

（ii）是否存在曲線C，使得曲線C的任意一條弦均有-伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結論；若不存在，說明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）

當，函數在內是增函數，函數沒有極值。……3分

當a<0時，令，得。

當x變化時，與變化情況如下表：

x
f`(x)	+	0	-
f(x)	單調遞增	極大值	單調遞減

 

當時，f(x)取得最大值f()=-1+ln()。綜上，當時，f(x)沒有極值；

當a<0時，f(x)的極大值為-1+ln()，沒有極小值。………………………………5分

（II）（i）設P₁(x₁,f(x₁)),P₂(x₂,f(x₂))是曲線y=f(x)上的任意兩點，要證明弦P₁P₂有伴隨切線，只需證明存在點Q(x₀,f(x₀))，x₁<x₀<x₂，使得，

且點Q不在P₁P₂上。…………………………………………………………………………7分

，即證存在，使得，即成立，且點Q不在P₁P₂上。

以下證明方程在（x₁,x₂）內有解。

記F(x)=，則F(x)=，令g(t) = lnt - t + 1，t>1。，g(t)在內是減函數，g(t) <g(1)=0。取，則 ，即F(x₁)<0…………………………………………9分

同理可證F(x₂)>0, F(x₁)F(x₂)<0。函數F(x)=在（x₁,x₂）內有零點。

即方程=0在（x₁,x₂）內有解x=x₀。…………………………10分

又對于函數g(t)= lnt - t + 1，取t=，則，

可知，即點Q在P₁P₂上。F(x)是增函數，F(x)的零點是唯一的，

即方程=0在（x₁,x₂）內有唯一解。

綜上，曲線y=f(x)上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。……………11分

（ii）取曲線C：y=h(x)=x²，則曲線y=h(x)的任意一條弦均有-伴隨切線。

證明如下：

設R（x₃,y₃）,S(x₄,y₄)是曲線C上任意兩點（x₃y₄），

則

又

即曲線C：y=x²的任意一條弦均有-伴隨切線。……………………………………14分