Question

已知函數．
（I）求函數f（x）圖象的對稱中心和單調遞增區間；
（II）△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足a，b，c依次成等比數列，求f（B）的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角恒等變換化簡函數f（x）的解析式為f（x）=，由此求得它的對稱中心和單調增區間．
（2））△ABC中，由等比數列的定義、余弦定理以及基本不等式求得cosB≥，從而得到B的范圍，再根據正弦函數的定義域和值域求得f（B）的最值．
解答：解：（1）==，…（2分）．
令2x+=kπ，k∈z，解得 x=-，k∈z，
故函數f（x）圖象的對稱中心為…（4分）．
由 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得，
故函數f（x）的單調遞增區間為，k∈Z…（6分）．
（2））△ABC中，∵a，b，c成等比數列，∴b²=ac，
由余弦定理可得  ，∴…（8分）．
由于f（B）=4sin（）+1，，
當且僅當=，即時，f（B）_max=5，…（10分）．
當且僅當，即時，f（B）_min=1…（12分）．
點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的對稱性、單調性、定義域和值域，等比數列的定義和性質，基本不等式的應用，屬于中檔題．