Question

在平面直角坐標系x0y中，已知以O為圓心的圓與直線l：y=mx+（3-4m）（m∈R）恒有公共點，且要求使圓O的面積最小．
（1）證明直線過定點M，求出此點的坐標及圓O的方程；
（2）已知定點Q（-4，3），直線l與圓O交于M、N兩點，試判斷

QM

•

QN

×tan∠MQN是否有最大值，若存在求出最大值，并求出此時直線l的方程，若不存在，給出理由．
（3）圓O與x軸相交于A、B兩點，圓內動點P使|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比數列，求

PA

•

PB

的范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意可知直線過定點，要求使圓O的面積最小，則定點在圓上，求出半徑即可求圓的方程；
（2）利用

QM

•

QN

×tan∠MQN，可得到等價關系即三角形面積，容易確定圓上的點到已知線段的最大距離，可求出直線l的方程；
（3）求出A、B兩點的坐標，設P的坐標，利用|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比數列，得到相等關系式，P在圓內，得到不等式，從而可求數量積的范圍．

解答：解：（1）因為直線l：y=mx+（3-4m）過定點T（4，3）
由題意，要使圓O的面積最小，定點T（4，3）在圓上，所以圓O的方程為x²+y²=25；
（2）存在直線方程2x-y-5=0，符合題意，理由如下

QM

•

QN

×tan∠MQN=|

QM

|•|

QN

|×sin∠MQN=2S_△MQN
由題意，得直線l與圓O的一個交點為M（4，3），又知定點Q（-4，3），
∴直線l_MQ：y=3，|MQ|=8，∴當N（0，-5）時，S_△MQN有最大值32．
即

QM

•

QN

×tan∠MQN有最大值為64，此時直線l的方程為2x-y-5=0．
（3）A（-5，0），B（5，0），設P（x₀，y₀），則x₀²+y₀²＜25   ①
由|

PA

|、|

PO

|、|

PB

|成等比數列，得|

PO

|²=|

PA

|•|

PB

|，
∵

PA

=（-5-x₀，-y₀），

PB

=（5-x₀，-y₀），
∴x₀²+y₀²=

(x0+5)2+y02

•

(x0-5)2+y02

，整理得：x₀²-y₀²=

25

2

，即x₀²=y₀²+

25

2

②
由①②得：0≤y₀²＜

25

4

，
∴

PA

•

PB

=（x₀²-25）+y₀²=2y₀²-

25

2

∴

PA

•

PB

∈[

25

2

，0）．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，向量的數量積，等比數列，考查等價轉化的數學思想，屬于中檔題．