Question

（2011•鹽城二模）在平面直角坐標系xOy中，橢圓x²+

y2

4

=1在第一象限的部分為曲線C，曲線C在其上動點P（x₀，y₀）處的切線l與x軸和y軸的交點分別為A、B，且向量

OM

=

OA

+

OB

．
（1）求切線l的方程（用x₀表示）；
（2）求動點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）求導函數，可得切線斜率，從而可得切線l的方程；
（2）確定A，B的坐標，可得向量坐標，在利用消參法，即可得到動點M的軌跡方程．

解答：解：（1）因為y=2

1-x2

，所以y′═-

2x

1-x2

，（3分）
故切線l的方程為y-2

1-x02

=-

2x0

1-x02

（x-x₀），即y=-

2x0

1-x02

x+

2

1-x02

．（5分）
（2）設A（x₁，0）、B（0，y₂），M（x，y）是軌跡上任一點，
在y=-

2x0

1-x02

x+

2

1-x02

中，令y=0，得x₁=

1

x0

；
令x=0，得y₂=

2

1-x02

，則由

OM

=

OA

+

OB

，得

x= 1 x0 y= 2 1-x02

（8分）
消去x₀，得動點M的軌跡方程為

1

x2

+

4

y2

=1（x＞1）．（10分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查向量知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．