Question

【題目】已知定義在上的可導函數，對于任意實數都有成立，且當時，都有成立，若，則實數的取值范圍為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，可判斷出函數g（x）為R上偶函數．由f′（x）＜2x+1成立，可得g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，可得函數g（x）的單調性．不等式f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），利用單調性即可得出．

令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，

則g（﹣x）﹣g（x）＝f（﹣x）﹣x2+x﹣f（x）+x2+x＝0，

∴g（﹣x）＝g（x），∴函數g（x）為R上的偶函數．

∵當x∈（﹣∞，0]時，都有f'（x）＜2x+1成立，

∴g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，

∴函數g（x）在x∈（﹣∞，0]上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增．

f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即f（2m）﹣4m2﹣2m＜f（m﹣1）﹣（m﹣1）2﹣（m﹣1），

∴g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），

∴|2m|＜|m﹣1|，

化為：3m2+2m﹣1＜0，

解得．

故選A．