Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，為等邊三角形，且平面平面，為中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）可證平面，從而得到要證的線面垂直；

（2）過點作的垂線，交于點，連結，可證二面角的平面角為，利用余弦定理可求其余弦值后可得其正弦值.我們也可以建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量后可求它們的夾角的余弦值，從而得到二面角的正弦值.

（1）證明：因為，，

所以，

又∵平面平面，且平面平面，平面，

∴平面，又∵平面，∴ 所以，

∵為中點，且為等邊三角形，∴，又∵，

∴平面.

（2）【法一】過點作的垂線，交于點，連結，

取中點為，連接.

因為為等邊三角形，所以，

由平面平面，平面，平面平面，

所以平面，

平面，所以，由條件知，

又，所以平面，

又平面，所以，

又，所以，

所以，

由二面角的定義知，二面角的平面角為，

在中，，

由，所以，

同理可得，

又，在中，

，

所以，二面角的正弦值為.

【法二】

取中點為，連接，因為為等邊三角形，所以，

由平面平面，平面，平面平面，

所以平面，

所以，由，，

可知，所以，

以中點為坐標原點，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

所以，，

所以，

由（1）知，可以為平面的法向量，

因為為的中點，

所以，

由（1）知，平面的一個法向量為，

設平面的法向量為，

由得，

取，則，

所以，

所以二面角的正弦值為.