Question

如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.

已知α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.

求證：l⊥γ.

Answer 1

【探究一】在γ內取一點P，作PA垂直α與γ的交線于A，PB垂直β與γ的交線于B，則PA⊥α,PB⊥β.

∵l=α∩β,

∴l⊥PA,l⊥PB.

∵α與β相交，

∴PA與PB相交.

又PAγ,PBγ,∴l⊥γ.

【探究二】在α內作直線m垂直于α與γ的交線，在β內作直線n垂直于β與γ的交線，

∵α⊥γ,β⊥γ,

∴m⊥γ,n⊥γ.

∴m∥n.又nβ,

∴m∥β.∴m∥l,∴l⊥γ.

【探究三】在l上取一點P，過點P作γ的垂線l′,

.

但α∩β=l,∴l與l′重合.

∴l⊥γ.

【規律總結】 探究一、探究二都是利用“兩平面垂直時，在一個平面內垂直于兩平面的交線的直線垂直于另一個平面”這一性質，添加了在一個平面內垂直于交線的直線這樣的輔助線.這是兩種證法的關鍵.

    探究三是利用“如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內”這一性質，添加了l′這條輔助線，這是關鍵.

    通過此例，應仔細體會兩平面垂直時，添加輔助線的方法.