Question

如果兩個相交平面都垂直于第三個平面,那么它們的交線垂直于第三個平面.

已知:α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.

求證:l⊥γ.

Answer 1

證法一:在γ內取一點P,作PA垂直α與γ的交線于A,PB垂直β與γ的交線于B,則PA⊥α,ΡΒ⊥β.

∵l=α∩β,

∴l⊥PA,l⊥PB.

∵α與β相交,

∴PA與PB相交.

又PAγ,PBγ,∴l⊥γ.

證法二:在α內作直線m垂直于α與γ的交線,在β內作直線n垂直于β與γ的交線,∵α⊥γ,β⊥γ,

∴m⊥γ,m⊥γ.

∴m∥n.又nβ,

∴m∥β.∴m∥l.

∴l⊥γ.

證法三:在l上取一點P,過點P作γ的垂線l′,

但α∩β=l,∴l與l′重合.∴l⊥γ.

小結:證法一、證法二都是利用“兩平面垂直時,在一個平面內垂直于兩平面的交線的直線垂直于另一個平面”這一性質,添加了在一個平面內垂直于交線的直線這樣的輔助線.這是證法一、證法二的關鍵.

證法三是利用“如果兩個平面互相垂直,那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面的直線,在第一個平面內”這一性質,添加了l′這條輔助線,這是證法三的關鍵.

通過此例,應仔細體會兩平面垂直時,添加輔助線的方法.