Question

如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面.

已知α⊥γ，B⊥γ，α∩B=ｌ.

求證：ｌ⊥γ.

Answer 1

證法一:如圖，

    在γ內(nèi)取一點(diǎn)P，作PA垂直α與γ的交線于A，PB垂直B與γ

的交線于B，則PA⊥α，PB⊥B.

∵ｌ=α∩B，∴ｌ⊥PA，ｌ⊥PB.

∵α與B相交，∴PA與PB相交.

    又PAγ，PBγ，

∴ｌ⊥γ.

證法二:如圖，

    在α內(nèi)作直線m垂直于α與γ的交線，在B內(nèi)作直線n垂直于B與

γ的交線，

∵α⊥γ，B⊥γ，∴m⊥γ，N⊥γ.

∴m∥N.

    又NB，∴m∥B.

∴m∥ｌ.∴ｌ⊥γ.

證法三:在ｌ上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作γ的垂線ｌ′，

α∩B=ｌ′.

    但α∩B=ｌ，∴ｌ與ｌ′重合.

∴ｌ⊥γ.

點(diǎn)評:證法一、證法二都是利用“兩平面垂直時(shí)，在一個平面內(nèi)垂直于兩平面的交線的直線垂直于另一個平面”這一性質(zhì)，添加了在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線這樣的輔助線.這是證法一、證法二的關(guān)鍵.

    證法三是利用“如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個平面的直線，在第一個平面內(nèi)”這一性質(zhì)，添加了ｌ′這條輔助線，這是證法三的關(guān)鍵.

    通過此例，應(yīng)仔細(xì)體會兩平面垂直時(shí)，添加輔助線的方法.