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當整數n≥0時，證明多項式xⁿ⁺²+(x+1)²ⁿ⁺¹能被x²+x+1整除．

答案：
解析：

證明：(1)當n=0時，xⁿ⁺²+(x+1)²ⁿ⁺¹=x²+x+1能被x²+x+1整除．

　　(2)假設n=k(k≥0，k∈Z)時命題成立，就是x^k⁺²+(x+1)^2k⁺¹能被多項式x²+x+1整除，那么n=k+1時

　　x^(k⁺¹⁾⁺²+(x+1)^2(k⁺¹⁾⁺¹

　　=x·x^k⁺²+(x+1)²·(x+1)^2k⁺¹-x^k⁺²·(x+1)²+x^k⁺²(x+1)²

　　=(x+1)²[x^k⁺²+(x+1)^2k⁺¹]-x^k⁺²(x²+x+1)

　　∵　x^k⁺²+(x+1)^2k⁺¹，x²+x+1都能被x²+x+1整除

　　∴　n=k+1

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的單調函數y=f（x），當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并寫出適合條件的函數f（x）的一個解析式；
（2）數列{a_n}滿足a1=f(0)且f(an+1)=

f(-2-an)

(n∈N+)，
①求通項公式a_n的表達式；
②令bn=(

)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=

a1a2

a2a3

+…+

anan+1

，試比較Sn與

Tn的大小，并加以證明；
③當a＞1時，不等式

an+1

an+2

+…+

a2n

＞

(log a+1x-log ax+1)對于不小于2的正整數n恒成立，求x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：閱讀理解

請先閱讀：
設可導函數 f（x）滿足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x）的兩邊對x求導，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求導法則，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化簡得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），結合等式(1+x)n=

x2+…+

xn（x∈R，整數n≥2），證明：n[(1+x)n-1-1]=2

x+3

x2+4

x3+…+n

xn-1；
（Ⅱ）當整數n≥3時，求

-2

-…+(-1)n-1n

的值；
（Ⅲ）當整數n≥3時，證明：2

-3•2

+4•3

+…+(-1)n-2n(n-1)

=0．

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當整數n≥0時，證明多項式xⁿ⁺²+(x+1)²ⁿ⁺¹能被x²+x+1整除．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

x2+…+

xn（x∈R，整數n≥2），證明：n[(1+x)n-1-1]=2

x+3

x2+4

x3+…+n

xn-1；
（Ⅱ）當整數n≥3時，求

-2

-…+(-1)n-1n

的值；
（Ⅲ）當整數n≥3時，證明：2

-3•2

+4•3

+…+(-1)n-2n(n-1)

=0．

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