Question

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設可導函數 f（x） 滿足f（-x）=-f（x）（x∈R）．
在等式f（-x）=-f（x） 的兩邊對x求導，
得（f（-x））′=（-f（x））′，
由求導法則，得f′（-x）•（-1）=-f′（x），
化簡得等式f′（-x）=f′（x）．
（Ⅰ）利用上述想法（或其他方法），結合等式(1+x)n=

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn（x∈R，整數n≥2），證明：n[(1+x)n-1-1]=2

C

2 n

x+3

C

3 n

x2+4

C

4 n

x3+…+n

C

n n

xn-1；
（Ⅱ）當整數n≥3時，求

C

1 n

-2

C

2 n

+3

C

3 n

-…+(-1)n-1n

C

n n

的值；
（Ⅲ）當整數n≥3時，證明：2

C

2 n

-3•2

C

3 n

+4•3

C

4 n

+…+(-1)n-2n(n-1)

C

n n

=0．

Answer 1

分析：（I）在等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²++C_nⁿxⁿ，兩邊對x求導，整理可得結論；
（II）當整數n≥3時，n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1中，令x=-1，可得結論；
（III）當整數n≥3時，n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1中，兩邊對x求導，令x=-1，可得結論．

解答：（Ⅰ）證明：在等式（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x+C_n²x²++C_nⁿxⁿ
兩邊對x求導得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1
移項得n[(1+x)n-1-1]=2

C

2 n

x+3

C

3 n

x2+4

C

4 n

x3+…+n

C

n n

xn-1；
（Ⅱ）解：當整數n≥3時，n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1中，令x=-1，可得

C

1 n

-2

C

2 n

+3

C

3 n

-…+(-1)n-1n

C

n n

=（-1）^n-1n；
（Ⅲ）證明：當整數n≥3時，∵n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x+…+（n-1）C_n^n-1x^n-2+nC_nⁿx^n-1，
求導函數，可得（n-1）n（1+x）^n-2=+2C_n²+…+n（n-1）C_nⁿx^n-2，
令x=-1，可得2

C

2 n

-3•2

C

3 n

+4•3

C

4 n

+…+(-1)n-2n(n-1)

C

n n

=0．

點評：本題考查二項式定理的運用，考查導數知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．