Question

當(dāng)整數(shù)n≥0時(shí)，證明多項(xiàng)式xⁿ⁺²+(x+1)²ⁿ⁺¹能被x²+x+1整除．

 

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1)當(dāng)n=0時(shí)，xn+2+(x+1)2n+1=x2+x+1能被x2+x+1整除． 　　(2)假設(shè)n=k(k≥0，k∈Z)時(shí)命題成立，就是xk+2+(x+1)2k+1能被多項(xiàng)式x2+x+1整除，那么n=k+1時(shí) 　　x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1 　　=x·xk+2+(x+1)2·(x+1)2k+1-xk+2·(x+1)2+xk+2(x+1)2 　　=(x+1)2[xk+2+(x+1)2k+1]-xk+2(x2+x+1) 　　∵　xk+2+(x+1)2k+1，x2+x+1都能被x2+x+1整除 　　∴　n=k+1時(shí)命題成立 綜合(1)，(2)，n≥0，n∈Z時(shí)命題成立．