Question

已知

a

=(5

3

cosx，cosx)，

b

=(sinx，2cosx)，其中x∈[

π

6

，

π

2

]，設函數f(x)=

a

•

b

+|

b

|2+

3

2

．
（1）求函數f（x）的值域；        
（2）若f（x）=5，求x的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積的坐標表示二倍角公式及輔助角公式對函數化簡可得f（x）=5sin(2x+

π

6

)+5，由x∈[

π

6

，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]．結合正弦函數的性質可求
（2）由題意可得sin(2x+

π

6

)+5=5，即sin(2x+

π

6

)=0．結合2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]可求

解答：解：（1）f（x）=5

3

cosxsinx+2cos2x+sin2x+4cos2x+

3

2

=

5 3

2

sin2x+5•

cos2x+1

2

+

5

2

=5sin(2x+

π

6

)+5．…（3分）
∵x∈[

π

6

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]．
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，故f（x）的值域為[

5

2

，10]．…（5分）
（2）若f（x）=5，則sin(2x+

π

6

)+5=5，即sin(2x+

π

6

)=0．
∵2x+

π

6

∈[

π

2

，

7π

6

]，∴2x+

π

6

=π⇒x=

5π

12

．…（10分）

點評：本題以向量的數量積額坐標表示為切入點，主要考查了三角函數的二倍角公式、輔助角公式在三角函數化簡中的應用，考查了三角函數的性質的應用．