Question

【題目】若數(shù)列滿足:對任意，都有,則稱為“緊密”數(shù)列.

(1)設某個數(shù)列為“緊密”數(shù)列，其前項依次為，求的取值范圍；

(2)若數(shù)列的前項和，判斷是否為“緊密”數(shù)列，并說明理由；

(3)設是公比為的等比數(shù)列，前項和為，且與均為“緊密”數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是 “緊密”數(shù)列，理由見詳解；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，得到，且，求解，即可得出結(jié)果；

（2）根據(jù)，求出，計算的范圍，即可得出結(jié)論；

（3）先討論，易得滿足題意；再討論，得到，，根據(jù)為“緊密”數(shù)列，得到或，分別根據(jù)這兩種情況，計算的范圍，即可得出結(jié)果.

（1）若數(shù)列為“緊密”數(shù)列，則，且，解得：；

即的取值范圍為；

（2）數(shù)列為“緊密”數(shù)列；理由如下：

數(shù)列的前項和，

當時，；

當時，，

又，即滿足，

因此，

所以對任意，，

所以，

因此數(shù)列為“緊密”數(shù)列；

（3）因為數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，前項和為，

當時，有，，

所以，，滿足題意；

當時，，，因為為“緊密”數(shù)列，

所以，即或，

當時，，

，

所以，滿足為“緊密”數(shù)列；

當時，，不滿足為“緊密”數(shù)列；

綜上，實數(shù)的取值范圍是.