Question

【題目】在平面直角坐標系中，方程（為，為不相等的兩個正數）所代表的曲線是（ ）

A. 三角形 B. 正方形 C. 非正方形的長方形 D. 非正方形的菱形

Answer 1

【答案】D

【解析】

解法一 直線：與：將平面分成四個區域：

（I） （II）

（III） （IV）

在區域（I）中，方程（1）成為.（2）

它代表直線.令與相交于點.則由

得點的坐標為.

令與相交于點，由

得點的坐標為.

因此，（1）代表的曲線在區域（I）中是線段.

同樣，在區域（II）中，方程（1）成為，它代表直線，與相交于點，與相交于點，方程（1）代表的曲線在區域（II）中是一條線段.

同前，得點在（1）代表的曲線上，且（1）代表的曲線在區域（III）中是線段，（1）代表的曲線在區域（IV）中是線段.

又由于，，，，所以，（1）代表的四邊形是非正方形的菱形.故選D.

解法二 將直角坐標系繞原點逆時針旋轉，得到新坐標系.點在坐標系中的坐標為，在坐標系中的坐標為.則

題中方程 （1）

化成. （2）

顯然，（2）代表的曲線關于軸，軸對稱，在的第I象限內，（2）成為，即為線段，其中，.

據對稱性，在第II象限內方程（2）是線段，其中；

在第III象限內方程（2）是線段，其中；

在第IV象限內方程（2）是線段.

由對稱性知，.又由于，故.所以，是非正方形的菱形.故選D.