Question

一種電腦屏幕保護畫面，只有符號“○”和“×”隨機地反復出現，每秒鐘變化一次，每次變化只出現“○”和“×”之一，其中出現“○”的概率為p，出現“×”的概率為q，若第k次出現“○”，則記a_k=1；出現“×”，則記a_k=-1，令S_n=a₁+a₂+••+a_n．
（I）當p=q=

1

2

時，記ξ=|S₃|，求ξ的分布列及數學期望；
（II）當p=

1

3

，q=

2

3

時，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

Answer 1

分析：（I）ξ=|S₃|的取值為1，3，故欲求ξ的分布列，只須分別求出取1或3時的概率即可，最后再結合數學期望的計算公式求得數學期望即可；
（II）由S₈=2知，即前八秒出現“○”5次和“×”3次，又S_i≥0（i=1，2，3，4）知包括兩種情形：若第一、三秒出現“○”，則其余六秒可任意出現“○”3次；或者若第一、二秒出現“○”，第三秒出現“×”，則后五秒可任出現“○”3次．分別求出它們的概率后求和即得．

解答：解：（I）∵ξ=|S₃|的取值為1，3，又p=q=

1

2

，
∴P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

2

) -(

1

2

)2-2=

3

4

，P（ξ=3）=( 

1

2

)3+(

1

3

)3 =

1

4

（4分）
∴ξ的分布列為（5分）
∴Eξ=1×

3

4

+3×

1

4

=

3

2

．（6分）
（II）當S₈=2時，即前八秒出現“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），
若第一、三秒出現“○”，則其余六秒可任意出現“○”3次；
若第一、二秒出現“○”，第三秒出現“×”，則后五秒可任出現“○”3次．
故此時的概率為P=(

C

3 6

+

C

3 5

)•(

1

3

)5• (

2

3

)3=

30×8

38

=

80

37

(或

80

2187

)（12分）

點評：本題主要考查了離散型隨機變量及其分布列、古典概率及數據計算的能力，屬于基礎題．