Question

一種電腦屏幕保護畫面，只有符號“○”和“×”隨機地反復出現，每秒鐘變化一次，每次變化只出現“○”和“×”之一，其中出現“○”的概率為p，出現“×”的概率為q．若第k次出現“○”，則a_k=1；出現“×”，則a_k=-1．令S_n=a₁+a₂+…+a_n（n∈N^*）．
（1）當p=q=

1

2

時，求S₆≠2的概率；
（2）當p=

1

3

，q=

2

3

時，求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

Answer 1

分析：（1）先求S₆=2的概率，則在6次變化中，出現“○”有4次，出現“×”有2次．求出S₆=2的概率，再用1減去此概率，即可求得S₆≠2的概率．
（2）當S₈=2時，即前八秒出現“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），若第一、三秒出現“○”，則其余六秒可任意出現“○”3次；若第一、二秒出現“○”，第三秒出現“×”，則后五秒可任出現“○”3次．由此求得S₈=2的概率為P=(

C

3 6

+

C

3 5

)•(

1

3

)5•(

1

3

)3，運算求得結果．

解答：解：（1）當p=q=

1

2

時，先求S₆=2的概率，則在6次變化中，出現“○”有4次，出現“×”有2次．
故S₆=2的概率為

C

4 6

(

1

2

)4•(

1

2

)2=

15

64

．
∴S₆≠2的概率為P₁=1-

15

64

=

49

64

．
（2）當S₈=2時，即前八秒出現“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），
若第一、三秒出現“○”，則其余六秒可任意出現“○”3次；
若第一、二秒出現“○”，第三秒出現“×”，則后五秒可任出現“○”3次．
故此時的概率為P=(

C

3 6

+

C

3 5

)•(

1

3

)5•(

1

3

)3=

30×8

38

=

80

37

=

80

2187

．

點評：本題主要考查n次獨立重復實驗中恰好發生k次的概率，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．