Question

一種電腦屏幕保護畫面，只有符號“○”和“×”隨機地反復出現，每秒鐘變化一次，每次變化只出現“○”和“×”之一，其中出現“○”與出現“×”的概率均為

1

2

，若第k次出現“○”，則a_k=1；出現“×”，則a_k=-1．令S_n=a₁+a₂+…+a_n（n∈N^*）．
（I）求S₆=2的概率；
（II）求S₈=2且S_i≥0（i=1，2，3，4）的概率．

Answer 1

分析：（I）S₆=2的事件相當于6次電腦屏幕保護畫面中恰好4次出現“○”，由此能求出其概率；
（II）由S₈=2知，即前八秒出現“○”5次和“×”3次，又S_i≥0（i=1，2，3，4）知包括兩種情形：若第一、三秒出現“○”，則其余六秒可任意出現“○”3次；或者若第一、二秒出現“○”，第三秒出現“×”，則后五秒可任出現○”3次．分別求出它們的概率后求和即得．

解答：解：（1）S₆=2的事件相當于6次電腦屏幕保護畫面中恰好4次出現“○”，
其概率p（S₆=2）=

C

4 6

(

1

2

)4(

1

2

)2=

15

64

．
（2）當S₈=2時，即前八秒出現“○”5次和“×”3次，又已知S_i≥0（i=1，2，3，4），
若第一、三秒出現“○”，則其余六秒可任意出現“○”3次；
若第一、二秒出現“○”，第三秒出現“×”，則后五秒可任出現“○”3次．
故此時的概率為p=(

C

3 6

+

C

3 5

)  •(

1

2

)5•(

1

2

)3=

15

128

．

點評：本題考查n次獨立試恰好發生k次的概率，解題時要注意培養離散型隨機變量及其分布列、古典概率及數據計算的能力．