Question

（2009•金山區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁、F₂分別為其左、右焦點，點P（

2

，1）在橢圓C上，且PF₂垂直于x軸．
（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)坐標(biāo)平面上有兩點A（-5，-4）、B（3，0），過點P作直線l，交線段AB于點D，并且直線l將△PAB分成的兩部分圖形的面積之比為5：3，求D點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點P（

2

，1）在橢圓C上，且PF₂垂直于x軸，可知右焦點坐標(biāo)，從而可求PF₁的長，故可求橢圓C的方程；
（2）根據(jù)直線l將△PAB分成的兩部分圖形的面積之比為5：3，可得D分

AB

所成的比，利用定比分點坐標(biāo)公式可求D點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）因為點P（

2

，1）在橢圓C上，且PF₂垂直于x軸，
所以F₂（

2

，0），即c=

2

，…（1分）
又PF₂=1，所以PF₁=3，…（3分）
所以2a=4，a=2，…（4分）
所以b²=a²-c²=2
所以，所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1…（6分）
（2）過點P作直線l，交線段AB于點D，則其坐標(biāo)可設(shè)為D（x，y），…（7分）
又直線l將△PAB分成的兩部分圖形的面積之比為5：3，
即有：點D在線段AB上，且AD：DB=5：3或AD：DB=3：5
因為A（-5，-4）、B（3，0），設(shè)D分

AB

所成的比為λ，λ=

5

3

或λ=

3

5

…（9分）
所以x=

-5+ 5 3 ×3

1+ 5 3

=0，y=

-4+ 5 3 ×0

1+ 5 3

=-

3

2

或x=

-5+ 3 5 ×3

1+ 3 5

=2，y=

-4+ 3 5 ×0

1+ 3 5

=-

5

2

，
所以點D的坐標(biāo)為（0，-

3

2

）或（-2，-

5

2

）…（12分）

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查線段的定比分點坐標(biāo)公式，有一定的綜合性