Question

（2009•金山區二模）設函數f（x）=x²+x．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）請先閱讀下列材料，然后回答問題．
材料：已知函數g（x）=-

1

f(x)

，問函數g（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，說明理由．一個同學給出了如下解答：
解：令u=-f（x）=-x²-x，則u=-（x+

1

2

）²+

1

4

，
當x=-

1

2

時，u有最大值，u_max=

1

4

，顯然u沒有最小值，
∴當x=-

1

2

時，g（x）有最小值4，沒有最大值．
請回答：上述解答是否正確？若不正確，請給出正確的解答；
（3）設a_n=

f(n)

2n-1

，請提出此問題的一個結論，例如：求通項a_n．并給出正確解答．
注意：第（3）題中所提問題單獨給分，．解答也單獨給分．本題按照所提問題的難度分層給分，解答也相應給分，如果同時提出兩個問題，則就高不就低，解答也相同處理．

Answer 1

分析：（1）因為f（x）=x²+x，所以x²+x＜0．由此能求出原不等式的解．
（2）不正確．正確解答如下：令u=-f（x）=-x²-x，則u=-（x+

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，當0＜u≤

1

4

時，g（x）≥4．當u＜0時，g（x）＜0．由此知g（x）既無最大值，也無最小值．
（3）命題1：求數列{a_n}的通項公式．答案1：a_n=

n2+n

2n-1

．命題2：判斷數列{a_n}的單調性．答案2：

an+1

an

=

(n+1)(n+2)

2n

×

2n-1

n(n+1)

=

n+2

2n

，由此得數列{a_n}是先增后減的數列．命題3：求數列{a_n}的最大值．答案3：（前面解題過程同答案2），且a_n的極限是0，故有a_n的最大值為a₂=a₃=3．命題4：a_n對一切正整數n，均有a_n≤C恒成立，求C的最小值．答案4：因為a_n=

n2+n

2n-1

，若a_n對一切正整數n，均有T_n≤C恒成立，則需C大于或等于a_n的最大值，
由此導出C的最小值為3．

解答：解：（1）因為f（x）=x²+x，所以x²+x＜0；即-1＜x＜0…（1分）
（2）不正確，…（2分）
正確解答如下：
令u=-f（x）=-x²-x，則u=-（x+

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，…（3分）
當0＜u≤

1

4

時，

1

μ

≥4，即g（x）≥4…（4分）
當u＜0時，

1

μ

＜0，即g（x）＜0…（5分）
所以g（x）＜0或g（x）≥4，即g（x）既無最大值，也無最小值．…（6分）
（3）下面分層給分：
命題1：求數列{a_n}的通項公式．答案1：a_n=

n2+n

2n-1

…（各（1分），共計2分）
命題2：判斷數列{a_n}的單調性．答案2：

an+1

an

=

(n+1)(n+2)

2n

×

2n-1

n(n+1)

=

n+2

2n

，
令

an+1

an

≥1得：n≤2，即有：a₁=2≤a₂=3=a₃=3≥a₄=

5

2

≥a₅=

15

8

≥…≥a_n≥…，
即數列{a_n}是先增后減的數列．…（各（3分），共計6分）

命題3：求數列{a_n}的最大值．答案3：（前面解題過程同答案2），且a_n的極限是0，故有a_n的最大值為a₂=a₃=3，…（各（5分），共計10分）
命題4：a_n對一切正整數n，均有a_n≤C恒成立，求C的最小值．
答案4：因為a_n=

n2+n

2n-1

，若a_n對一切正整數n，均有T_n≤C恒成立，
則需C大于或等于a_n的最大值，
（此部分解題過程同答案3），
又對一切正整數n，均有a_n≤C恒成立，
所以C≥3，C的最小值為3…．…各（7分），共計（14分）

點評：本題考查數列和不等式的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意運算能力的培養．