Question

【題目】設各項均為正數的數列的前項和為，滿足，且，公比大于1的等比數列滿足， .

（1）求證數列是等差數列，并求其通項公式；

（2）若，求數列的前項和；

（3）在（2）的條件下，若對一切正整數恒成立，求實數的取值

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）由與的關系，可求出，利用等差數列定義即可證明；（2）根據通項是等差數列與等比數列相乘的特點，用錯位相減法求和；（3）可證明數列是單調遞減數列，故可轉化為恒成立，利用二次不等式恒成立的方法即可求解.

試題解析：（1）當時， ， ，

，所以， .

因為當時， 是公差的等差數列，

， ，

則是首項，公差的等差數列，

所以數列的通項公式為.

（2）由題意得， ；

則前項和 ；

；

相減可得

；

化簡可得前項和；

（3）對一切正整數恒成立，

由 ，

可得數列單調遞減，即有最大值為，

則，解得或.

即實數的取值范圍為.