Question

已知函數在上是增函數,
（1）求實數的取值集合；
（2）當取值集合中的最小值時，定義數列；滿足且，，求數列的通項公式；
（3）若，數列的前項和為，求證：.

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析

試題分析：（1）函數在區間是增函數，說明恒成立，再參變分離確定的取值集合；
（2）由（1）知，表示，代入中，得關于和的遞推式，再根據遞推公式求通項公式，常見的根據遞推公式求通項公式的方法有：①，用累積法；②，用累加法；③(p,q是常數)，用構造法；④（p,q,m是常數），用兩邊取倒數，再用構造法，該題，用③求；（3）首先求數列的通項公式，再根據通項公式的具體形式，選擇合適的求和方法，常見的求和方法有①直接法，直接利用等比數列或等差數列前n項和公式；②裂項相消法，在求和的過程中互相抵消的辦法；③錯位相減法，適合于通項公式是等差數列乘以等比數列的類型；④分組求和法，分組分別求和再相加的辦法；⑤奇偶并項求和法，研究奇數項和偶數項的特點來求和的辦法，該題，利用③④結合起來求和,再證明不等式成立.
試題解析：(1) 因為函數在上是增函數,只需在滿足恒成立,即，所以；
（2）由（1）知，因為，∴，且，所以，∴，∴是以2為首項，3為公比的等比數列，故，；
（3）由（2）知，令，
，兩式相減得，故.