Question

已知為函數圖象上一點，為坐標原點，記直線的斜率．
（1）若函數在區間上存在極值，求實數的取值范圍；
（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；
（3）求證：

Answer 1

（1）實數的取值范圍是；（2）實數的取值范圍是；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先利用導數求出函數的解析式，并利用導數求出函數的極值點，并將極值點限制在區間內，得出有關的不等式，求解出實數的取值范圍；（2）利用參數分離法將問題在區間上恒成立轉化為不等式在區間上恒成立，構造新函數，從而將問題轉化為，借助導數求函數的最小值，從而得到實數的取值范圍；（3）取，由（2）中的結論，即在上恒成立，從而得到在上恒成立，，令，代入上述不等式得到，結合累加法即可證明不等式.
試題解析：（1）由題意，               1分
所以                   2分
當時，；當時，．
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故在處取得極大值．                      3分
因為函數在區間（其中）上存在極值，
所以，得．即實數的取值范圍是．        4分
（2）由得，令，
則．                           6分
令，則，
因為所以,故在上單調遞增．        7分
所以,從而
在上單調遞增,
所以實數的取值范圍是．                    9分
（3）由(2) 知恒成立,
即         11分
令則，        12分
所以， ，  ,．
將以上個式子相加得：
，
故．               14分
（解答題的其他解法可酌情給分）