Question

【題目】設函數f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2（k∈R）．
（1）當k=1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當 時，求函數f（x）在[0，k]上的最大值M．

Answer 1

【答案】
（1）解：當k=1時，f（x）=（x﹣1）ex﹣x2，

f'（x）=ex+（x﹣1）ex﹣2x=x（ex﹣2）

令f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln2＞0

所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（﹣∞，0）	0	（0，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數f（x）的單調增區間為（﹣∞，0）和（ln2，+∞），單調減區間為（0，ln2）

（2）解：f（x）=（x﹣1）ex﹣kx2，x∈[0，k]， ．

f'（x）=xex﹣2kx=x（ex﹣2k），f'（x）=0，解得x1=0，x2=ln（2k）

令φ（k）=k﹣ln（2k）， ，

所以φ（k）在 上是減函數，∴φ（1）≤φ（k）＜φ ，∴1﹣ln2≤φ（k）＜ ＜k．

即0＜ln（2k）＜k

所以f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，ln（2k））	ln（2k）	（ln（2k），k）
f'（x）	﹣	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

f（0）=﹣1，

f（k）﹣f（0）

=（k﹣1）ek﹣k3﹣f（0）

=（k﹣1）ek﹣k3+1

=（k﹣1）ek﹣（k3﹣1）

=（k﹣1）ek﹣（k﹣1）（k2+k+1）

=（k﹣1）[ek﹣（k2+k+1）]

∵ ，∴k﹣1≤0．

對任意的 ，y=ek的圖象恒在y=k2+k+1下方，所以ek﹣（k2+k+1）≤0

所以f（k）﹣f（0）≥0，即f（k）≥f（0）

所以函數f（x）在[0，k]上的最大值M=f（k）=（k﹣1）ek﹣k3．

【解析】（1）利用導數的運算法則即可得出f′（x），令f′（x）=0，即可得出實數根，通過列表即可得出其單調區間；（2）利用導數的運算法則求出f′（x），令f′（x）=0得出極值點，列出表格得出單調區間，比較區間端點與極值即可得到最大值．