Question

判斷橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）中，以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：作出圖象，由橢圓的第二定義和梯形的中位線可判|PQ|＜|PC|+|QD|，由直線和圓的位置關(guān)系可解．

解答： 解：以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系為：相離，下面證明，
不妨設(shè)右準(zhǔn)線為l，PQ為過(guò)右焦點(diǎn)的弦，P、Q在l上的射影分別為C、D
連接PC、QD，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，作MN⊥l于N，
根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可得

|PF|

|PC|

=

|QF|

|QD|

=e，可得

|PF|+|QF|

|PC|+|QD|

=e＜1
∴|PF|+|QF|＜|PC|+|QD|，即|PQ|＜|PC|+|QD|，
∵以PQ為直徑的圓半徑為r=

1

2

|PQ|，|MN|=

1

2

（|PC|+|QD|）
∴圓心M到l的距離|MN|＞r，∴直線l與以PQ為直徑的圓相離

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)，涉及橢圓的第二定義以及直線和圓的位置關(guān)系，屬中檔題．