Question

【題目】定義非零向量的“相伴函數”為（），向量稱為函數的“相伴向量”（其中為坐標原點），記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為.

（1）已知（），求證：，并求函數的“相伴向量”模的取值范圍；

（2）已知點（）滿足，向量的 “相伴函數”在處取得最大值，當點運動時，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）依題意，將可化為 ，即可得證，同時利用向量模的概念可求得，利用正弦函數的性質可求得的取值范圍；

（2）由 可求得時取得最大值，其中，為直線OM的斜率，由幾何意義知，再利用二倍角的正切可求得的范圍.

詳解：（1） ，

∴ 的相伴向量，∴ ，

∵ ，

∵ ，∴ ，∴ .

（2）的相伴函數 ，

其中，，

當，即，時取得最大值，

∴ ，

∴ ，

為直線的斜率，又滿足，

∴，

∴ ，

∴ .