Question

【題目】如圖，在棱長為1的正方體中， 為線段的中點，為線段上一動點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）當時，求三棱錐的體積；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點，使得平面？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析.

（2）.

（3）存在；理由見解析.

【解析】

（1）連結，借助于正方體的特征，結合線面垂直的判定和線面垂直的性質，得到；

（2）根據題中的條件，確定出對應的點的位置，將三棱錐的頂點和底面轉換，利用體積相等，求得結果；

（3）借助于平行四邊形找到平行線，利用線面平行的判定定理，證得結果.

(Ⅰ)連結.

在正方體中，

，，

所以.

因為為正方形，,

所以.

又因為,

所以.

因為，

所以.

(Ⅱ)過點作，交于點.

在正方體中，

因為，

又因為，

所以.

所以為三棱錐的高.

因為,

所以.

所以

（III）存在. 當為中點時，平面.

設為中點，連結.

因為、分別為、的中點,

所以.

因為，

所以.

所以.

在正方形中,

因為為中點,

所以，且.

所以四邊形為平行四邊形.

所以

因為,,

所以平面.