Question

已知向量

a

與向量

b

的夾角為

π

3

，|

a

|=2，|

b

|=3，記向量

m

=3

a

-2

b

，

n

=2

a

+k

b

（1）若

m

⊥

n

，求實數k的值  
（2）是否存在實數k，使得

m

∥

n

？若存在，求出實數k；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由兩向量垂直，得兩向量的數量積等于0，代入后展開多項式乘多項式，然后代入向量的模即可求解k的值；
（2）假設存在實數k，使得向量

m

和

n

共線，運用共線向量基本定理寫出關系式，再根據向量

a

與

b

不共線，得到關于實數k的表達式，從而可以求出k的值．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=(3

a

-2

b

)(2

a

+k

b

)=6|

a

|2+(3k-4)

a

•

b

-2k|

b

|2=0，
即：6×22+(3k-4)×2×3×cos

π

3

-2k×32=0，解得：k=

4

3

；
（2）假設存在實數k，使得

m

∥

n

，則存在實數λ，使得

m

=λ

n

，
即3

a

-2

b

=λ(2

a

+k

b

)，∴(3-2λ)

a

=(2+λk)

b

，
∵

a

與

b

不共線，∴

3-2λ=0 2+λk=0

，解得：k=-

4

3

．
∴存在實數k=-

4

3

，使得

m

∥

n

．

點評：本題考查了數量積判斷兩個平面向量垂直的關系，考查了平面向量平行的坐標表示，考查了兩個向量相等的條件，解答此題的關鍵是熟記共線向量基本定理．